ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Una elipse se forma cuyo el plano no atraviesa el cono de forma paralela a la base. Por lo tanto, una circunferencia es una versión más exacta de una elipse.

Según su definición, una elipse es el conjunto de todos los puntos de manera tal que la suma de las distancias entre dos puntos fijos llamados focos, sea constante.

 Cuando P > 0 abre a la derecha y hacia arriba.

Cuando P < 0 abre a la izquierda y hacia abajo. 

• a siempre es mayor que b . Si son iguales, estamos frente a una circunferencia.
• " Los focos, vértices y los co-vértices se relacionan a través de una versión del Teorema de Pitágoras: c2=a2−b2

·         Ejemplo

·         Escribe una ecuación para la elipse usyo las características dadas a continuación. La elipse debe estar centrada en el origen.

·         a) vértice: (−6,0) , co-vértice: (0,4)

·         b) vértice: (0,9) , foco: (0,−5)

·      

   Solución: En cada parte, puedes optar por dibujar la elipse para ayudarte con la orientación.

·         Para la parte a, podemos concluir que a=6 y b=4 . La elipse es horizontal, ya que el valor más grye, a , es el valor x del vértice. La ecuación es x236+y216=1 .

·         Para la parte b, sabemos que a=9 y c=5 también sabemos que la elipse es vertical. Resuelve para encontrar b usyo c2=a2−b2

·         5225b2=92−b2=81−b2=56→b=214−−√

·         La ecuación es x256+y281=1

EJERCICIOS POR RESOLVER: 

 1.- Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (−2, 2) sea igual a 8.

2.-  Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(−3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION:

Circunferencia: Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen se deduce a partir

de su definición utilizando la fórmula para calcular la distancia entre

(x-h)2 donde h es el numero X del punto (0, 0)

(y-k)2 donde k es el número y del punto (0, 0)

 es de r=3.

FORMULA:

(X-h)2 + (y-k)2 = r2

EJEMPLOS RESUELTOS:

1.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-3, 2) y su radio es de r=3.

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

(x-(-3))2 +(y-2)2 =32

(x+3)2 +(y-2)2 =9

X2+6x+9+y2-4y+4= 9

X2+6x+9+y2-4y+4-9= 0

x2+y2+6x-4y+4=0

2.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, 3) y su radio es de r=5

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

(x-(-4)2 + (y-3)2 = 52

(x+4)2 + (y-3)2 = 25

X2+8x+16+y2-6y+9= 25

X2+8x+16+y2-6y+9-25= 0

X2+y2+8x-6y+0= 0

EJERCICIOS POR RESOLVER:

1.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y su radio es r=8

2.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el puto (2, -2) y su radio es r=3