ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Una elipse se forma cuyo el plano no atraviesa el cono de forma paralela a la base. Por lo tanto, una circunferencia es una versión más exacta de una elipse.

Según su definición, una elipse es el conjunto de todos los puntos de manera tal que la suma de las distancias entre dos puntos fijos llamados focos, sea constante.

 Cuando P > 0 abre a la derecha y hacia arriba.

Cuando P < 0 abre a la izquierda y hacia abajo. 

• a siempre es mayor que b . Si son iguales, estamos frente a una circunferencia.
• " Los focos, vértices y los co-vértices se relacionan a través de una versión del Teorema de Pitágoras: c2=a2−b2

·         Ejemplo

·         Escribe una ecuación para la elipse usyo las características dadas a continuación. La elipse debe estar centrada en el origen.

·         a) vértice: (−6,0) , co-vértice: (0,4)

·         b) vértice: (0,9) , foco: (0,−5)

·      

   Solución: En cada parte, puedes optar por dibujar la elipse para ayudarte con la orientación.

·         Para la parte a, podemos concluir que a=6 y b=4 . La elipse es horizontal, ya que el valor más grye, a , es el valor x del vértice. La ecuación es x236+y216=1 .

·         Para la parte b, sabemos que a=9 y c=5 también sabemos que la elipse es vertical. Resuelve para encontrar b usyo c2=a2−b2

·         5225b2=92−b2=81−b2=56→b=214−−√

·         La ecuación es x256+y281=1

EJERCICIOS POR RESOLVER: 

 1.- Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (−2, 2) sea igual a 8.

2.-  Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(−3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION:

Circunferencia: Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen se deduce a partir

de su definición utilizando la fórmula para calcular la distancia entre

(x-h)2 donde h es el numero X del punto (0, 0)

(y-k)2 donde k es el número y del punto (0, 0)

 es de r=3.

FORMULA:

(X-h)2 + (y-k)2 = r2

EJEMPLOS RESUELTOS:

1.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-3, 2) y su radio es de r=3.

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

(x-(-3))2 +(y-2)2 =32

(x+3)2 +(y-2)2 =9

X2+6x+9+y2-4y+4= 9

X2+6x+9+y2-4y+4-9= 0

x2+y2+6x-4y+4=0

2.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4, 3) y su radio es de r=5

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

(x-(-4)2 + (y-3)2 = 52

(x+4)2 + (y-3)2 = 25

X2+8x+16+y2-6y+9= 25

X2+8x+16+y2-6y+9-25= 0

X2+y2+8x-6y+0= 0

EJERCICIOS POR RESOLVER:

1.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y su radio es r=8

2.- Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el puto (2, -2) y su radio es r=3

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

1. F. Punto - Pendiente

2.f Punto-punto

3. F. Pendiente - Ordenada al origen.

4.F. Simétrica

5. F. General

Forma Punto-Pendiente

 Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe 

PUNTO-PUNTO Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta. PENDIENTE - ORDENADA AL ORIGEN Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0,b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b. Conociendo este punto es muy sencillo encontrar la ecuación de la recta.  ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA La ecuación canónica o segmentaría de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas. a es la abscisa en el origen de la recta. b es la ordenada en el origen de la recta. Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.                                                                                              Si y = 0 resulta x = a.                                                                                              Si x = 0 resulta y = b. ECUACIÓN GENERAL Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. 1 Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2,  7 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro. Links: https://matematica.laguia2000.com/general/angulo-entre-dos-rectas https://es.scribd.com/doc/37187014/Angulo-formado-por-dos-rectas https://www.clarovideo.com/mexico/homeuser

    

División de un segmento en una razón dada (1er Parcial)

SEGMENTOS RECTILÍNEOS 

A la porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento y se consideran parte de este. 

Para obtener las coordenadas de un punto 'P', que divida a un segmento en una razón dada, se sigue las siguiente fórmulas:

El valor de x₂ se multiplica por la razón y se divide entre la suma de 1 más la razón. Así, se obtiene la abscisa del punto 'P'. La ordenada, se obtiene de manera análoga.

https://www.youtube.com/watch?v=yy3MzIM0cP0

Ejemplos: 

AL GRAFICAR:

Distancia entre dos puntos 

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x 2 – x 1 ) .

Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Ejemplos: 

ejemplo 1: 

Calcular la distancia entre los siguientes puntos:

Aplicamos directamente la fórmula anterior o lo que es lo mismo, calculando el módulo del vector AB:

Ahora operamos y obtenemos la distancia entre esos dos puntos, que es de 5 unidades:

ejemplo 2: 

Hallar la distancia entre los puntos P1 (-4, 3) y P2 (3, 2)

Elegimos cualquier punto, puede ser el Punto 1, o puede ser el Punto 2. No importa a quién tomemos como inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos elegir al punto uno como inicial, y punto dos como final.

De nuestra fórmula:

Ejercicios a resolver: 

1.- Encuentre la distancia entre los puntos siguientes, considere el par ordenado P1 (-2, 3) y P2 (3,3).

2.- Hallar la distancia entre los puntos P1 (-5, 3) y P2 (4, 3).

VÍDEO EN EL QUE TE PUEDES APOYAR: 

https://www.youtube.com/watch?v=kDzTTOvv5dc

Biografía: 

https://www.fisimat.com.mx/distancia-entre-dos-puntos/

https://www.geoan.com/vectores/distancia.html

https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/DistanciaEntreDosPuntos.html

             ANGULO ENTRE 2 RECTAS

El ángulo entre dos rectas, es el menor de los ángulos que se forma de estas. Podemos obtener la medida este ángulo tanto por sus vectores directores o por sus pendientes. Veamos a continuación la representación de dos rectas y la fórmula para hallar el ángulo por sus vectores.La formula a dicho tema se expresa: 
 

Ejemplos: 
Ejemplo 1: 

Demuestra hallando los ángulos interiores que los triángulos isósceles y efectúa la comprobación mediante el cálculo de las longitudes de sus lados.